שפת מכונה | טור 05

[הטור מתפרסם במקור ב-"עליית המכונות" - קבוצת פייסבוק העוקבת אחר התנודות במאזן הכוח, האימה והאושר, בין הטכנולוגיה לבני האדם.]

על האחים שאבדו בתוך מספר ועל מה עדיף: יקום או עוגה?

ב-12 במרץ 2009 קיבל בית הנבחרים של ארצות הברית החלטה דרמטית. ברוב של 391 בעד ו-10 נגד, הוכרז יום הפאי (לא המאפה, אלא ה-π) כיום חג לאומי, שיתקיים מאז בכל שנה. באמריקאית, הקשר ברור, שכן ה-14 במרץ הוא ה-3.14. המהדרין חוגגים אותו בשעה 1:59 בצהריים; זכר נוסף לפיתוחו העשרוני של המספר, שמתחיל כך: ...3.14159265. מה עושים בחג האמריקאי החדש? מתחפשים לעיגולים, מדברים על מתמטיקה, ואוניברסיטת MIT אף מקפידה להודיעה למועמדיה ברי המזל על התקבלותם, רק ביום זה. ביום הפאי דאשתקד קרה דבר מה נוסף: אֵמַה הארוקה איוואו שברה את השיא העולמי במציאת ספרות של פאי המופיעות אחרי הנקודה העשרונית. היא העמידה אותו על יותר מ-30 טריליון ספרות. 31,415,926,535,897, ליתר דיוק; עוד קריצה אל המספר הנערץ. איוואו לא עשתה זאת לבד. לצדה הזיעו הענן של גוגל, תוכנה שבנה תלמיד תיכון, ואלגוריתם של זוג אחים, שפותח בדירה טחובה בַּאַפֶּר ווסט סייד של מנהטן, ונוסה בסוף שנות השמונים על "מחשב על", שבנו השניים בעצמם מחלקים שהזמינו בדואר.

ההיסטוריה של שבירת השיא בחישוב פאי – כלומר היחס בין היקף המעגל לקוטרו – היא ותיקה כמעט כמו הציביליזציה עצמה, ומאז המאה העשרים היא שלובה ללא הפרד גם בהתפתחות המחשב. את גודלו של פאי ניסו להעריך עוד במצרים העתיקה, ארכימדס חישב אותו בגסות, ובמאות השנים האחרונות השקיעו בו מתמטיקאים לא מעטים את חייהם. לימים הוכח כי פאי הוא מספר טרנסצנדנטי – סוג של מספר שלא כאן המקום להיכנס לתכונותיו, אם כי השם עצמו מעיד עליו שהוא מעל לתחום ההכרה, אולי, ואף נוגע בשמיימי. רבים הניחו שאם יחשפו עוד ועוד מסְפַרותיו האינסופיות, המסודרות באופן לא צפוי, יוכלו גם לגלות את סוד הקיום, או לפחות לזכות באיזה פפראצי של הבורא. לכן הפכו המחשבים האלקטרוניים הראשונים לאבן שואבת עבור מעריצי המספר, ואלו עמלו כדי לחלץ מהם פרוסות מן הפאי. ב-1949 ניסה המתמטיקאי והפיזיקאי הנודע ג'ון פון ניומן לזהות דפוסים ב-2,037 הספרות הראשונות של פאי, שהפיק עבורו המחשב הקדום ENIAC במאמץ של שבעים שעות עבודה, אך ממציא תורת המשחקים לא גילה דבר. בהמשך נכנסו לאצטדיון סוסי העבודה של IBM, ובהדרגה החלו מדעני מחשב ומתמטיקאים מכל העולם להתחרות ביניהם בענף החדש: כמה שיותר פאי, בכמה שפחות זמן.

השיאים הלכו והצטברו, ובשנות השמונים חצה מספר הספרות הידוע את המאה מיליון. או אז הופיעו בזירה גרגורי ודיוויד צ'ודנובסקי. גרגורי היה כבר ידוע כאחד מגדולי המתמטיקאים בעולם, אבל בין כורי הפאי עוד לא שמעו עליו. הוא ואחיו, מתמטיקאי גם כן, עזבו את קייב ב-1977, עברו דרך פריז, והשתקעו בניו-יורק, בשתי דירות סמוכות. רוב מה שידוע על קפיצת הראש שלהם לתוך התחרות, למד העולם מכתבה בת עשרות עמודים ב"ניו יורקר", שפורסמה במרץ 1992 ועקבה אחר מאמציהם של האחים לשבור את תקרת שני מיליארד הספרות.

גרגורי, הסובל מתסמונת בשם מיאסטניה גראביס, מחלה אוטואימונית הגורמת להתעייפות שרירים רצוניים, תוּאַר שם כדמות מתוך רומן רוסי מן המאה ה-19, עם טוויסט עתידני: עילוי שחי בדירה שבה לא פותחים את התריסים (האור מכאיב לעיניו), המבלה את רוב שעותיו במיטה כשאשתו עורכת הדין מפרנסת אותו והוא לבוש גרביים שסרגה לו אימו, המהנדסת לשעבר מלכה בנימינובה צ'ודנובסקי, שבעברה הייתה מעורבת בניסויי טיל הקטיושה; האמא עצמה חיה עם גרגורי בנה בדירה, מציעה לכתב ה-"ניו יורקר" ירקות מוחמצים וקאשה, ובשלב מסוים – במהלך התחקיר – חוטפת התקף לב; ואת מרבית שטח הסלון תופס מחשב תוצרת בית בשם "m zero", קיצור של "מכונה אפס", שבאמצעותו מחשבים גרגורי ואחיו מאות מיליוני ספרות של פאי, ומתמודדים ראש בראש עם המתמטיקאי היפני יסומאסה קאנאדה, שעושה בדיוק את אותו הדבר בטוקיו – פעם שוברים הם את השיא, ופעם הוא. בין לבין מהגג גרגורי על משמעותו של פאי עבורו. "אנחנו לא יודעים כלום על פאי", הוא אומר, "ההגדרה פשוטה, אבל המורכבות בלתי נתפסת. יש לנו רצף ספרות שנראה כמו ג'יבריש".

זו הדירה שבה פיתחו האחים את הנוסחה לחישוב פאי, שתעמוד בלב האלגוריתם שישמש גם את שוברת השיא של 2019. היא מבוססת לא על המעגל כי אם על הטורוס, צורה גיאומטרית דמוית כעך – אלו מהעגולים עם החור באמצע – ועל רעיון של מתמטיקאי הודי אגדי מראשית המאה ה-20, בשם סריניוואסה רמאנוג'אן. גם לאחר שינטשו האחים צ'ודנובסקי את שדות הפאי, באמצע שנות התשעים, אחרי שהחזיקו בשיא הספרות חמש פעמים, ימשיך האלגוריתם הקרוי על שמם לסייע במציאת ספרות נוספות. את המירב יפיק ממנו תלמיד תיכון מפאלו אלטו, אלכסנדר יי (Yee), שבשנת 2009 יבנה סביבו את y-cruncher, תוכנה למציאת ספרות של פאי. מאז ואילך תככב התוכנה של הנער כמעט בכל פרסום על שיא פאי חדש, וגם אֵמַה הארוקה איוואו תשתמש בה, בזינוקה האחרון.

איוואו היא עובדת של גוגל, כלומר גם אם השיא האישי רשום על שמה, מדובר למעשה בהוכחת יכולת, שהציגה חברת הענק. זה איננו חישוב לשם שמיים, אלא הדגמה של ענן בפעולה. עד כה, סברו המומחים שחישוב מרחיק לכת של ספרות בפאי היא משימה גדולה מדיי עבור מחשוב בענן, שכן לכל אורך החישוב צריכה להתקיים זרימת מידע בלתי פוסקת בין המעבדים שעוסקים בו במקביל. אבל גם זה כבר כנראה לא נכון. לצורך שבירת השיא, השתמשה איוואו ב-25 מכונות וירטואליות בענן, שעמלו יחד במשך 121 יום. כלומר, מדובר בעבודה כוללת של 7.6 שנות מכונה. להשלמת החישוב נדרש אחסון עבור 170 טראבייט של מידע – לא רחוק מכמות המידע בספריית הקונגרס האמריקאי; מספרים בלתי נתפסים במושגי המחשב הבנוי מרכיבים שנרכשו בדואר, בסלון של גרגורי צ'ודנובסקי.

האחים צ'ודנובסקי חיפשו בפאי דפוסים חבויים, ולא הסתירו את אכזבתם כאשר לא מצאו כאלה. בכתבה ב"ניו יורקר" מתואר גרגורי כשהוא אוחז בדימוי גראפי כלשהו של הספרות אחרי הנקודה בפאי, ומתבונן בו כאילו הוא בוחן איזה רכס הרים; נוף קדומים ממש. הוא ואחיו רדפו אחרי סוד הרנדומליות, והקריבו שנים מחייהם. משהו מהקסם האינדיבידואלי הזה פג; העובדה שהשיא האחרון נחקק בענן של גוגל, כפרויקט של החברה, מעידה על כך. גם עצם החדירה עמוק אל תחום טריליוני הספרות, מעלה שאלות בנוגע למשמעות ההישג. בעולם האמיתי, אין צורך ביותר מאשר 37 ספרות אחרי הנקודה העשרונית של פאי, כדי לשרטט גם מעגל סביב כל היקום הנראה, מבלי שיחרוג מ"מעגליות מושלמת" בסטייה העולה בגודלה על פרוטון יחיד. אפילו גילוי של כמה מאות ספרות אחרי הנקודה, הוא חסר כל תכלית, אם לא נועד כדי לתור אחר אותות חיים, או לפחות דפוס כלשהו, בשממת הסְְפַרות המתפתלת. מה היא אפוא המשמעות של 31 טריליון ספרות, אם אינן משמשות עוד לאותה התבוננות משתאה, שמשכה כל-כך את המתמטיקאים של העבר, ובמקום זה רק תופסות מרחבי עתק של זיכרון בענן?

ב-2001 הגה הפילוסוף ניק בוסטרום ניסוי מחשבתי, שבו ניתנת למערכת בעלת בינה מלאכותית כללית, כלומר עם יכולות כמו-אנושיות או למעלה מכך, הוראה פשוטה: למקסם את יכולות ייצור מהדקי הנייר שלה. בניסוי, לוקחת המערכת (שאין בה כל "רוע" מתוכנן) את ההוראה עד לקצה, ורואה כל דבר על פני כדור הארץ כמשאב פוטנציאלי בדרך אל פס הייצור. האנושות, כמובן, מושמדת; אין מניעה לכך שגם כל האטומים ביקום יגויסו להגשמת המשימה, שכן מהדקי הנייר, עבור המכונה, הם מעל לכול. האם לא ניתן לראות את תחרויות חישוב הפאי, בשלביהן הנוכחיים, כשהם חורכים את הטריליונים בדרך אל הקוואדריליונים, כמין זרע לניסוי מחשבתי דומה, שבו מוטל על מערכת בינה מלאכותית להגיע הכי רחוק שניתן, בעומק אותו מספר טרנסצנדנטי? כל המשאבים האפשריים יוקדשו לחישובו, עד שהקוסמוס עצמו יידרס ויוחלף בפאי, מפורט עד הספרה הגוגולפלקסית שלו, כלומר 10 בחזקת גוגול (שהוא 10 בחזקת 100), או עד האינסוף ממש. אם יש מי שסבר שפאי הוא ייצוג של הקוסמוס ("לחקור את פאי זה לחקור את היקום" – דיוויד צ'ודנובסקי), הרי ניצוּל כל חומר והפיכתו למשאב עבור בניית מעבדים לחישוב פאי, הוא צעד מתבקש.

חברי הקונגרס האמריקאי ביטאו אולי משהו עמוק יותר מאשר החלטה על עידוד לימודי מדעים בבית הספר. מצד אחד הם הצביעו אמנם על הצורך לחגוג את המספר הטרנסנדנטי, מספר העל, הקבוע הבונה צורת כל פלנטה ושמש, אך מצד שני – ייתכן שביקשו גם להזהיר מפני המספר המחריב, ההורס, זה שבדומה לאל שיווה, עשוי גם להביא לסופנו. עם זאת, סביר בעיקר להניח שרצו פשוט יום שיגישו בו יותר מדי פאי תותים. ובזה הם הצליחו מאד.

פורסם במקור ב-09.01.2020

בועז לביא הוא תסריטאי, יוצר קומיקס ומרצה על אלגוריתמים כותבים.

#עלייתהמכונות #שפתמכונה #בועזלביא